Rectified Flow

上面这个视频是Rectified Flow的作者之一的一个talk，非常清晰地讲述了Flow Matching和Rectified Flow的概念，绕过了Diffusion，ODE/SDE等一系列复杂的数学概念，直观的切入了Flow的概念

上图是他在引入部分，对于整个生成模型领域的一个简单的概括早期

现阶段

接下来我们来看Diffusion为代表的一系列生成模型，其核心思想就是将一个分布（一般是高斯）转换成另一个分布（真实数据代表的分布，比如图片，蛋白质分子等等）

最简单的情况如上，比如真实分布只有一个点，那么整个过程很好学习，一切都移动向同一个点即可，下面整个式子就是我们的Loss

但是当我们的分布复杂一点，比如有两个点的时候，就会出现一点问题，下图中我们会希望初始分布尽可能移动向这两个点

这个时候解决这个Loss，我们的分布会变成什么样，实际会变成下图这样，因为我们此时的移动是一条直线，其会变成两个点的平均，这也是我们在VAE中经常看到的结果

上述问题出在哪呢，原因在于我们强制了这个移动是一条直线，也即其速度的方向是不变的，如果我们去掉这个前提，再来看看（其实这个过程就是把离散转换成连续的过程，我们之前假设的情况并非移动，而是跃迁，移动本身应当是连续的）

因为我们在计算机上不能将运动过程无限微分，我们会选择进行高斯插值来模拟连续的运动

那么我们求解上述结果之后，我们的速度场平均下来是这样的

这个结果就非常符合我们的目标，这也是说明为什么我们在做Diffusion或是Flow的时候要分多步，而不是一步到位的原因，一步到位的移动往往会导致我们采样到真实数据分布的一个平均

我们来看一个更加明显地ODE地例子

在上图中，我们对比了真实地ODE和学习出来地Flow的结果，很明显可以观察到交叉点的不同，学习到的Flow中，左下角的紫色分布有时会向中间移动一段距离，再往右下角的红色分布进行移动

站在上帝视角我们可以很直观的发现，左下角的紫色分布，他就适合移动到右下角，左上角的紫色分布，就适合移动到右上角，但是再训练中这一点是未知的，我们只能尽可能地让紫色分布的全部都往红色分布移动，这也导致了训练出来的结果虽然好，但是走了弯路。理想的情况应该是下图第三张

这时候存在一个解决方案，那就是再训练一段。Rectified Flow相比于Flow Matching最大的区别就是在常规的Flow matching结束后，多了一段训练过程，该训练过程中使用的数据是一阶段训练好的Flow Model采样出来的

经过第二阶段的训练之后的Flow Model，可以做到快速采样，因为这个过程完成了去交叉点的内容

这张图直观的给我们展示了Recified Flow的威力，未经历过二阶段训练的模型，一开始会给我们去噪出一个图像的平均值，这个平均值往往就是一个交叉点，需要多步才能实现准确的生成，而经过Rectified的模型，从初始状态就知道自己该往哪个方向走，因此迅速就能够生成想要的方向，当然多步也会做的更好